cotx 的导数实际上就是求导，别被那一堆符号吓住，好办说就是看 $f(x)$ 如何“变”。
比如 $sin x$ 那玩意儿，导数就是 $cos x$，这是学生最熟悉的；那 $ln x$ 呢？导数就是 $1/x$，别看看着怪，但逻辑一致，都是对底数取了对数。
实际上 $cot x$ 也就是 $frac{cos x}{sin x}$，它的导数也不是那种特别复杂的公式，只要把商法则记牢，拆开算就行。 拿个具体例子，先算 $f(x) = frac{1}{x}$ 的导数。别去整那些长篇大论的推导过程，直接套公式：分子导数乘分母，再减去分子导数乘分母。分子是 1，导数是 0；分母是 x，导数是 1。
故此结局是 $frac{0 cdot x - 1 cdot 1}{x^2} = -frac{1}{x^2}$。
这就给你个标准答案了，啥“利用商的求导法则”、“乘积求导法则”这些名字都不用叫了，直接代入数字算，一目了然。 那 cot x 呢？既然是 $frac{cos x}{sin x}$，分子 $cos x$ 的导数是 $-sin x$，分母 $sin x$ 的导数是 $cos x$。直接套用商法则，公式写成 $frac{-sin x cdot sin x - cos x cdot cos x}{sin^2 x}$，也就是 $-frac{sin^2 x + cos^2 x}{sin^2 x}$。
这时候记得三角恒等式，$sin^2 + cos^2 = 1$，分子直接变成 1，最终化简就是 $-frac{1}{sin^2 x}$ 要么写成 $-csc^2 x$。整个过程快得吓人，根本不需求往脑子里想复杂的变形，按部就班地代数运算完，答案就出来了。 再举个带参数的例子，比如 $f(x) = cot(2x)$。
这时候就要小心点，导数里的自变量替换了。把 $2x$ 看作一个整体，先求外层函数 $cot u$ 的导数是 $-csc^2 u$。
然后把 $u=2x$ 代进去，变一下序，$-csc^2(2x)$。再算内层 $2x$ 的导数，就是 $2$。最终结合起来，用链式法则乘以 2，拿到的导数就是 $-2csc^2(2x)$。
这一套下来，要是一启动脑子里就套了链式法则和商法则，那效率比看解题步骤还高。 实际上 cot x 的求导也没那么难，核心就两点：一是商法则，二是三角函数的导数表来着。平时做计算题，遇到这种分式形式的三角函数，脑子里一过“商法则”和“倒数关系”，根本都能心算出来。
不用去纠结“起初”“其次”这种废话，也不用为了凑整非要加括号，直接按公式来，写出来的过程自然就顺了。 最终再唠叨一句，cot x 在 $x = 0$ 处实际上是有定义的，出于那是 $1/infty$ 的极限，趋近于 0，不是确实除零。别看在高中阶段这一般是默认条件，但在某些极限运算里略微注意一下，避免逻辑上的漏洞。
总而言之，cot x 的导数不难，关键在于把公式背熟，把代入习惯养成，别被那些包装词给绕晕了。